FAKTOR PENGINTEGRALAN
Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu pendidikan (STKIP) Muhammadiyah OKU Timur
Faktor Pengintegralan
Persamaan diferensial 1 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0 bukan merupakan persamaan diferensial exact, karena 𝜕𝑀 ≠ 𝜕𝑁,
𝑦
berikut pembuktiannya:
1 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦) = 1 = 𝑦−1 → 𝜕𝑀 = −𝑦−2
𝑦 𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 → 𝜕𝑁 = 2
𝜕𝑥
dari uraian di atas terlihat bahwa 𝜕𝑀 ≠ 𝜕𝑁, maka benar bahwa 1
𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0 bukan merupakan persamaan
diferensial exact.
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝑦
Nemun, persamaan diferensial 1
𝑦
𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0 dapat dibentuk menjadi persamaan diferensial exact, dengan
dikalian dengan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦, sehingga diperoleh:
𝑥
(1 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0) 𝑦
𝑦 𝑥
(1 𝑑𝑥 ∙ 𝑦 + 2𝑥 𝑑𝑦 ∙ 𝑦 = 0)
𝑦 𝑥 𝑥
1 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦) = 1 = 𝑥−1 → 𝜕𝑀 = 0
𝑥 𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 → 𝜕𝑁 = 0
𝜕𝑥
Terlihat bahwa 𝜕𝑀 = 𝜕𝑁 = 0, maka persamaan diferensial 1 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial
exact.
𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝑥
Dari penjelasan di atas, tampak bahwa suatu persamaan 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 belum tentu bersifat exact. Selanjutnya, untuk membentuk menjadi persamaan diferensial exact 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 dikalikan dengan sebuah fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 0. Fungsi pengali 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 0 disebut Faktor Pengintegralan.
Penyelesaian persamaan diferensial 1
𝑦
𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0 yang tidak exact dan penyelesaian persamaan diferensial
1 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 yang exact hasilnya harus sama.
𝑥
Perhatikan uraian berikut. Penyelesaian cara 1.
1 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0 ; persamaan diferensial tidak exact
𝑦
1 𝑑𝑥 = −2𝑥 𝑑𝑦
𝑦
1
2𝑥
𝑑𝑥 = −𝑦 𝑑𝑦
1 ∫ 1 𝑑𝑥 = ∫ −𝑦 𝑑𝑦
2 𝑥
1 ln|𝑥| = − 1 𝑦2 + 𝑐
2 2
1 𝑦2 + 1 ln|𝑥| = c ; dikalikan 2
2 2
𝑦2 + ln|𝑥| = 2c ; 2c dianggap bernilai sama dengan c, 2c = c
𝑦2 + ln|𝑥| = c
Penyelesaian cara 2. (menggunakan integral terhadap sumbu y)
1 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦) = 1
𝑥
→ 𝜕𝑀 = 0
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 → 𝜕𝑁 = 0
𝜕𝑥
Karena 𝜕𝑀 = 𝜕𝑁, maka 1 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial exact.
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁 𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)
= ∫ 2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)
= 𝑦2 + 𝑙(𝑥)
Selanjutnya dicari nilai 𝑙(𝑥)
𝜕𝑢 = 𝑀 → 0 + 𝜕𝑙 = 1
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑥
𝜕𝑙 = 1
𝜕𝑥 𝑥
𝜕𝑙 = 1 𝜕𝑥
𝑥
∫ 𝜕𝑙 = ∫ 1 𝜕𝑥
𝑥
𝑙(𝑥) = ln|𝑥| + 𝑐
Sehingga 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + ln|𝑥| + 𝑐 atau 𝑦2 + ln|𝑥| + 𝑐 = 0
Jadi penyelesaiannya adalah 𝑦2 + ln|𝑥| + 𝑐 = 0
Dapat disimpulkan bahwa penyelesaian cara 1 = penyelesaian cara 2.
Contoh 1.
Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 selesaikan persamaan diferensial 2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0, menggunakan metode integral terhadap sumbu x.
Penyelesaian.
2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = 2y → 𝜕𝑀 = 2
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥 → 𝜕𝑁 = 1
𝜕𝑥
Karena 𝜕𝑀 ≠ 𝜕𝑁, maka persamaan diferensial 2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0 bukan merupakan persamaan diferensial
𝜕𝑦 𝜕𝑥
exact.
Faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥, sehingga
(2𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0) ∙ 𝑥 2𝑦 ∙ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑥 𝑑𝑦 = 0
2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 → 𝜕𝑀 = 2𝑥
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 → 𝜕𝑁 = 2𝑥
𝜕𝑥
Karena 𝜕𝑀 = 𝜕𝑁, maka 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial exact.
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦)
= ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦)
= 𝑥2𝑦 + 𝑘(𝑦)
Selanjutnya dicari nilai 𝑘(𝑦)
𝜕𝑢 = 𝑁 → 𝑥2 + 𝜕𝑘 = 𝑥2
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑘 = 𝑥2−𝑥2
𝜕𝑦
𝜕𝑘 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑘 = 0 𝜕𝑦
∫ 𝜕𝑘 = ∫ 0 𝜕𝑦
𝑘(𝑦) = 𝑐
Sehingga 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 + 𝑐 atau 𝑥2𝑦 + 𝑐 = 0 Jadi penyelesaiannya adalah 𝑥2𝑦 + 𝑐 = 0 Contoh 2.
Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 selesaikan persamaan diferensial (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥) 𝑑𝑥 +
𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0, menggunakan metode integral terhadap sumbu y.
Penyelesaian.
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 → 𝜕𝑀 = 2𝑦
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 → 𝜕𝑁 = 𝑦
𝜕𝑥
Karena 𝜕𝑀 ≠ 𝜕𝑁, maka persamaan diferensial (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0 bukan merupakan persamaan
𝜕𝑦 𝜕𝑥
diferensial exact.
Faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥, sehingga
{(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0} ∙ 𝑥 (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥) ∙ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 ∙ 𝑥 𝑑𝑦 = 0 (𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2) → 𝜕𝑀 = 2𝑥𝑦
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦 → 𝜕𝑁 = 2𝑥𝑦
𝜕𝑥
Karena Karena 𝜕𝑀 = 𝜕𝑁, maka (𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2) 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦 𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial exact.
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁 𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)
= ∫ 𝑥2𝑦 𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)
= 1 𝑥2𝑦2 + 𝑙(𝑥)
2
Selanjutnya dicari nilai 𝑙(𝑥)
𝜕𝑢 = 𝑀 → 𝑥𝑦2 + 𝜕𝑙 = 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑙 = 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 − 𝑥𝑦2
𝜕𝑥
𝜕𝑙 = 𝑥3 + 𝑥2
𝜕𝑥
𝜕𝑙 = (𝑥3 + 𝑥2) 𝜕𝑥
∫ 𝜕𝑙 = ∫(𝑥3 + 𝑥2) 𝜕𝑥
𝑙(𝑥) = 1 𝑥4 + 1 𝑥3 + 𝑐
4 3
Sehingga 𝑢(𝑥, 𝑦) = 1 𝑥2𝑦2 + 1 𝑥4 + 1 𝑥3 + 𝑐 atau 1 𝑥2𝑦2 + 1 𝑥4 + 1 𝑥3 + 𝑐 = 0
2 4 3 2 4 3
Jadi penyelesaiannya adalah 1 𝑥2𝑦2 + 1 𝑥4 + 1 𝑥3 + 𝑐 = 0
2 4 3
Contoh 3.
Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦
selesaikan persamaan diferensial −𝑥−2𝑦2𝑑𝑥 −
𝑥−1𝑦𝑑𝑦 = 0, menggunakan metode integral terhadap sumbu y.
Penyelesaian.
−𝑥−2𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥−1𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = −𝑥−2𝑦2 → 𝜕𝑀 = −2𝑥−2𝑦
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥−1𝑦 → 𝜕𝑁 = 𝑥−2𝑦
𝜕𝑥
Karena 𝜕𝑀 ≠ 𝜕𝑁, maka persamaan diferensial −𝑥−2𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥−1𝑦𝑑𝑦 = 0 bukan merupakan persamaan
𝜕𝑦 𝜕𝑥
diferensial exact.
Faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2, sehingga
𝑦
(−𝑥−2𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥−1𝑦𝑑𝑦 = 0) ∙ 𝑥2
𝑦
−𝑥−2𝑦2 ∙ 𝑥2 𝑑𝑥 − 𝑥−1𝑦 ∙ 𝑥2 𝑑𝑦 = 0
𝑦 𝑦
−𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = −𝑦 → 𝜕𝑀 = −1
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥 → 𝜕𝑁 = −1
𝜕𝑥
Karena Karena 𝜕𝑀 = 𝜕𝑁, maka −𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial exact.
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁 𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)
= ∫ −𝑥 𝑑𝑦 + 𝑙(𝑥)
= −𝑥𝑦 + 𝑙(𝑥)
Selanjutnya dicari nilai 𝑙(𝑥)
𝜕𝑢 = 𝑀 → −𝑦 + 𝜕𝑙 = −𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑙 = −𝑦 + 𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑙 = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑙 = 0 𝜕𝑥
∫ 𝜕𝑙 = ∫ 0 𝜕𝑥
𝑙(𝑥) = 𝑐
Sehingga 𝑢(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑦 + 𝑐 atau −𝑥𝑦 + 𝑐 = 0
Jadi penyelesaiannya adalah −𝑥𝑦 + 𝑐 = 0
Contoh 4.
Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 selesaikan persamaan diferensial 2 sin 𝑦2 𝑑𝑥 +
𝑥𝑦 cos 𝑦2 𝑑𝑦 = 0, menggunakan metode integral terhadap sumbu x.
Penyelesaian.
2 sin 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 cos 𝑦2 𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = 2 sin 𝑦2 → 𝜕𝑀 = 4𝑦 cos 𝑦2
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 cos 𝑦2 → 𝜕𝑁 = 𝑦 cos 𝑦2
𝜕𝑥
Karena 𝜕𝑀 ≠ 𝜕𝑁, maka persamaan diferensial 2 sin 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 cos 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 bukan merupakan persamaan
𝜕𝑦 𝜕𝑥
diferensial exact.
Faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3, sehingga
(2 sin 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 cos 𝑦2 𝑑𝑦 = 0) ∙ 𝑥3
2 sin 𝑦2 ∙ 𝑥3 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 cos 𝑦2 ∙ 𝑥3 𝑑𝑦 = 0 = 0
2𝑥3 sin 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑦 cos 𝑦2 𝑑𝑦 = 0
𝑀(𝑥, 𝑦) = 2𝑥3 sin 𝑦2 → 𝜕𝑀 = 4𝑥3𝑦 cos 𝑦2
𝜕𝑦
𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥4𝑦 cos 𝑦2 → 𝜕𝑁 = 4𝑥3𝑦 cos 𝑦2
𝜕𝑥
Karena 𝜕𝑀 = 𝜕𝑁, maka 2𝑥3 sin 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑥4𝑦 cos 𝑦2 𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial exact.
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦)
= ∫ 2𝑥3 sin 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝑘(𝑦)
= 1 𝑥4 sin 𝑦2 + 𝑘(𝑦)
2
Selanjutnya dicari nilai 𝑘(𝑦)
𝜕𝑢 = 𝑁 → 𝑥4𝑦 cos 𝑦2 + 𝜕𝑘 = 𝑥4𝑦 cos 𝑦2
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑘 = 𝑥4𝑦 cos 𝑦2 − 𝑥4𝑦 cos 𝑦2
𝜕𝑦
𝜕𝑘 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑘 = 0 𝜕𝑦
∫ 𝜕𝑘 = ∫ 0 𝜕𝑦
𝑘(𝑦) = 𝑐
Sehingga 𝑢(𝑥, 𝑦) = 1 𝑥4 sin 𝑦2 + 𝑐 atau 1 𝑥4 sin 𝑦2 + 𝑐 = 0
2 2
Jadi penyelesaiannya adalah 1 𝑥4 sin 𝑦2 + 𝑐 = 0
2
Latihan.
1. Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 selesaikan persamaan diferensial
1 𝑑𝑥 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 0 menggunakan metode integral terhadap sumbu x.
𝑦
2. Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 selesaikan persamaan diferensial (𝑥2 + 𝑦2 +
𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0, menggunakan metode integral terhadap sumbu x.
3. Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦
selesaikan persamaan diferensial −𝑥−2𝑦2𝑑𝑥 −
𝑥−1𝑦𝑑𝑦 = 0, menggunakan metode integral terhadap sumbu x.
4. Dengan menggunakan faktor pengintegralan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 selesaikan persamaan diferensial 2 sin 𝑦2 𝑑𝑥 +
𝑥𝑦 cos 𝑦2 𝑑𝑦 = 0, menggunakan metode integral terhadap sumbu y.
